1. 典型的函数类求最大值问题
例如二次函数\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)，其对称轴为\(x \frac{b}{2a}\)。
当\(a\lt0\)时，二次函数图象开口向下，在对称轴\(x \frac{b}{2a}\)处取得最大值，最大值为\(y = a\frac{b}{2a})^{2}+b\frac{b}{2a})+c=\frac{4ac b^{2}}{4a}\)。
对于一些复杂的函数，可能需要通过换元法转化为二次函数来求最值。
比如\(y = x+\frac{1}{x}\)（\(x\gt0\)），可以根据均值不等式\(x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\times\frac{1}{x}} = 2\)，当且仅当\(x=\frac{1}{x}\)，即\(x = 1\)时取等号，得到最小值为\(2\)。如果是求\(y\frac{1}{x}(x\gt0)\)的最大值，同样根据均值不等式变形\(y(x+\frac{1}{x})\leqslant 2\)，当且仅当\(x = 1\)时取等号，最大值为\2\)。
2. 几何图形中的最值问题
两点之间线段最短
例如在平面直角坐标系中，求点\(A(x_1,y_1)\)到点\(B(x_2,y_2)\)的最短距离，根据两点间距离公式\(d=\sqrt{(x_2 x_1)^{2}+(y_2 y_1)^{2}}\)，其本质就是基于两点之间线段最短的原理。
在三角形中，若要使三角形一边上的动点到另外两边的距离之和最小，可以利用对称点转化为两点之间线段最短的问题。比如在\(\triangle ABC\)中，\(AD\)为\(\angle BAC\)的角平分线，\(P\)为\(AD\)上一动点，求\(PB + PC\)的最小值，可以作\(C\)关于\(AD\)的对称点\(C'\)，则\(PB+PC = PB + PC'\geqslant BC'\)，当且仅当\(P\)在\(BC'\)与\(AD\)的交点处时取等号。
垂线段最短
在平面内，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。例如求点\(A\)到直线\(l\)的最短距离，就是过点\(A\)作直线\(l\)的垂线，垂线段的长度即为最短距离。
在立体几何中也有类似的应用，如求正方体一个顶点到对面的最短距离，就是正方体的棱长（相当于垂线段）。
3. 一些特殊的方法和技巧
配方法
在求函数最值时经常用到。例如对于函数\(y=x^{2}+6x + 5\)，可通过配方法将其化为\(y=(x + 3)^{24\)，当\(x3\)时，\(y\)取得最小值\4\)。
判别式法
对于形如\(y=\frac{ax^{2}+bx + c}{mx^{2}+nx + p}\)的函数求最值，可以将其化为关于\(x\)的一元二次方程\((my a)x^{2}+(ny b)x+(py c)=0\)。
因为\(x\)是实数，所以判别式\(\Delta=(ny b)^{24(my a)(py c)\geqslant0\)，解这个关于\(y\)的不等式就可以得到\(y\)的取值范围，从而确定最值。
在解决山东中考数学压轴题中的最大值问题时，要准确判断问题类型，灵活运用这些方法，有时还需要综合多种方法才能高效解题。
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