1. 一元一次不等式
解法步骤
对于一元一次不等式\(ax + b>0\)（\(a\neq0\)），当\(a>0\)时，移项得到\(axb\)，解得\(x \frac{b}{a}\)；当\(a < 0\)时，移项得到\(axb\)，解得\(x\frac{b}{a}\)。
示例
解不等式\(3x 5>4\)。
移项可得\(3x>4 + 5\)，即\(3x>9\)。
两边同时除以\(3\)（因为\(3>0\)），解得\(x > 3\)。
2. 一元二次不等式
解法步骤（以\(ax^{2}+bx + c>0(a>0)\)为例）
先求一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)的根，根据判别式\(\Delta=b^{24ac\)的值来确定根的情况。
当\(\Delta>0\)时，方程有两个不同的实根\(x_1=\frac\sqrt{\Delta}}{2a}\)，\(x_2=\fracb + \sqrt{\Delta}}{2a}\)，不等式的解为\(x<x_1\)或\(x>x_2\)。
当\(\Delta = 0\)时，方程有两个相同的实根\(x_0\frac{b}{2a}\)，不等式的解为\(x\neq x_0\)。
当\(\Delta<0\)时，不等式的解为\(R\)（\(a>0\)时，\(ax^{2}+bx + c>0\)恒成立）。
示例
解不等式\(x^{23x 4>0\)。
对于方程\(x^{23x 4 = 0\)，其中\(a = 1\)，\(b3\)，\(c = 4\)，\(\Delta=3)^{24\times1\times4)=9 + 16 = 25>0\)。
由求根公式可得\(x_1=\frac{3 5}{1}1\)，\(x_2=\frac{3+5}{1}=4\)。
所以不等式的解为\(x < 1\)或\(x>4\)。
3. 分式不等式
解法步骤
对于分式不等式\(\frac{f(x)}{g(x)}>0\)（或\(<0\)），将其转化为整式不等式\(f(x)g(x)>0\)（或\(<0\)），然后求解。
示例
解不等式\(\frac{x 1}{x + 2}>0\)。
转化为\((x 1)(x + 2)>0\)。
方程\((x 1)(x + 2)=0\)的根为\(x = 1\)和\(x2\)。
所以不等式的解为\(x < 2\)或\(x>1\)。
4. 绝对值不等式
解法步骤（以\(\vert x\vert<a(a>0)\)和\(\vert x\vert>a(a>0)\)为例）
对于\(\vert x\vert<a(a>0)\)，其解为\a < x < a\)；对于\(\vert x\vert>a(a>0)\)，其解为\(x < a\)或\(x>a\)。
对于更复杂的绝对值不等式，如\(\vert ax + b\vert<c(c>0)\)，可转化为\c<ax + b < c\)；\(\vert ax + b\vert>c(c>0)\)，可转化为\(ax + b < c\)或\(ax + b>c\)，然后按照一元一次不等式求解。
示例
解不等式\(\vert 2x 1\vert<3\)。
转化为\3<2x 1 < 3\)。
先解\3<2x 1\)，移项得\2<2x\)，即\(x1\)；再解\(2x 1 < 3\)，移项得\(2x<4\)，即\(x < 2\)。
所以不等式的解为\1 < x < 2\)。
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