高一数学期末考试函数必刷题：指对幂运算，换底公式及对数恒等式

以下是关于指对幂运算、换底公式及对数恒等式的一些必刷题类型及示例：

一、指数运算
1. 化简求值题
   计算\((2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})( 6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}})\div3a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}})\)。
     解：根据指数运算法则\(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}\)，\(a^{m}\div a^{n}=a^{m n}\)。
       原式\(=\left[2\times 6)\div3)\right]\cdot a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2\frac{1}{6}}\cdot b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3\frac{5}{6}}\)
       先计算系数\(2\times6)\div3) = 4\)。
       再计算指数：
         \(a\)的指数\(\frac{2}{3}+\frac{1}{2\frac{1}{6}=\frac{4 + 1}{6}=\frac{6}{6}=1\)。
         \(b\)的指数\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\frac{5}{6}=\frac{3+2 5}{6}=0\)。
       所以结果为\(4a\)。
2. 指数方程题
   求解方程\(4^{x}+2^{x2 = 0\)。
     解：令\(t = 2^{x}(t>0)\)，则原方程化为\(t^{2}+t 2=0\)。
       对于二次方程\(t^{2}+t 2 = 0\)，因式分解得\((t + 2)(t 1)=0\)。
       解得\(t2\)（舍去，因为\(t = 2^{x}>0\)）或\(t = 1\)。
       当\(t = 1\)时，即\(2^{x}=1\)，所以\(x = 0\)。

二、对数运算
1. 利用对数运算法则化简求值题
   计算\(\log_{2}\sqrt{\frac{7}{48}}+\log_{2}1\frac{1}{2}\log_{2}42\)。
     解：根据对数运算法则\(\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N\)，\(\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}\log_{a}N\)，\(n\log_{a}M=\log_{a}M^{n}\)。
       原式\(=\log_{2}\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{48}}+\log_{2}1\log_{2}\sqrt{42}\)
       \(=\log_{2}\frac{\sqrt{7}\times12}{\sqrt{48}\times\sqrt{42}}\)
       化简分子分母：
         分子\(\sqrt{7}\times12 = 12\sqrt{7}\)。
         分母\(\sqrt{48}\times\sqrt{42}=\sqrt{48\times42}=\sqrt{2016}=12\sqrt{14}\)。
       则原式\(=\log_{2}\frac{\sqrt{7}\times12}{\sqrt{48}\times\sqrt{42}}=\log_{2}\frac{12\sqrt{7}}{12\sqrt{14}}=\log_{2}\frac{1}{\sqrt{2}}=\log_{2}2^\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\)。
2. 换底公式应用题
   计算\(\log_{3}8\cdot\log_{2}9\)。
     解：根据换底公式\(\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\)。
       原式\(=\frac{\log_{2}8}{\log_{2}3}\cdot\frac{\log_{2}9}{\log_{2}2}\)
       因为\(\log_{2}8 = 3\)，\(\log_{2}9 = 2\log_{2}3\)，\(\log_{2}2 = 1\)。
       所以原式\(=\frac{3}{\log_{2}3}\cdot\frac{2\log_{2}3}{1}=6\)。

三、对数恒等式应用
1. 求值题
   计算\(7^{\log_{7}5}\)。
     解：根据对数恒等式\(a^{\log_{a}N}=N\)和指数运算法则\(a^{m n}=\frac{a^{m}}{a^{n}}\)。
       原式\(=\frac{7^{1}}{7^{\log_{7}5}}=\frac{7}{5}\)。
2. 证明题
   证明\(a^{\log_{b}c}=c^{\log_{b}a}\)。
     证明：设\(x = a^{\log_{b}c}\)，则\(\log_{b}x=\log_{b}(a^{\log_{b}c})=\log_{b}c\cdot\log_{b}a\)。
       设\(y = c^{\log_{b}a}\)，则\(\log_{b}y=\log_{b}(c^{\log_{b}a})=\log_{b}a\cdot\log_{b}c\)。
       因为\(\log_{b}x=\log_{b}y\)，所以\(x = y\)，即\(a^{\log_{b}c}=c^{\log_{b}a}\)。