1. 举例说明一：因式分解中的换元法
例如：分解因式\((x^{2}+x 1)^{2}+2(x^{2}+x 11\)。
设\(y = x^{2}+x 1\)，则原式变为\(y^{2}+2y 1\)。
对于\(y^{2}+2y 1\)，根据求根公式\(y=\frac2\pm\sqrt{4 + 4}}{2}1\pm\sqrt{2}\)，所以\(y^{2}+2y 1=(y + \sqrt{2})(y + 1+\sqrt{2})\)。
再把\(y=x^{2}+x 1\)代回，得到\((x^{2}+x 1+\sqrt{2})(x^{2}+x 1+1+\sqrt{2})=(x^{2}+\sqrt{2})(x^{2}+x+\sqrt{2})\)。这里通过换元法，将复杂的式子简化，关键就在于换元这个方法的运用。
2. 举例说明二：解方程组中的消元法
对于方程组\(\begin{cases}3x + 2y=10\\5x 3y = 4\end{cases}\)。
我们可以采用消元法来求解。如果想消去\(y\)，可以给第一个方程乘以\(3\)，第二个方程乘以\(2\)，得到\(\begin{cases}9x+6y = 30\\106y=8\end{cases}\)。
然后将两个方程相加，\((9x + 6y)+(106y)=30 + 8\)，即\(19x=38\)，解得\(x = 2\)。
把\(x = 2\)代入\(3x+2y = 10\)，得\(6 + 2y=10\)，解得\(y = 2\)。这个方程组看似有两个未知数比较难，但通过消元法就可以顺利求解，关键在于对消元方法的运用。
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