1. 首先给出题目示例（假设题目为\(\frac{x + 1}{x 1}+\frac{x 1}{x + 1}=\frac{10}{3}\)）：
设\(y=\frac{x + 1}{x 1}\)，则原方程\(\frac{x + 1}{x 1}+\frac{x 1}{x + 1}=\frac{10}{3}\)可化为\(y+\frac{1}{y}=\frac{10}{3}\)。
整理得\(3y^{210y + 3 = 0\)。
对于一元二次方程\(3y^{210y + 3 = 0\)，其中\(a = 3\)，\(b10\)，\(c = 3\)，根据求根公式\(y=\fracb\pm\sqrt{b^{24ac}}{2a}\)，\(\Delta=b^{24ac=\left10\right)^{24\times3\times3 = 100 36 = 64\)。
则\(y=\frac{10\pm\sqrt{64}}{2\times3}=\frac{10\pm8}{6}\)，解得\(y = 3\)或\(y=\frac{1}{3}\)。
2. 然后分情况求\(x\)的值：
当\(y = 3\)时，即\(\frac{x + 1}{x 1}=3\)，方程两边同时乘以\(x 1\)得到\(x+1 = 3(x 1)\)。
展开得\(x + 1 = 33\)。
移项得\(2x = 4\)，解得\(x = 2\)。
当\(y=\frac{1}{3}\)时，即\(\frac{x + 1}{x 1}=\frac{1}{3}\)，方程两边同时乘以\(3(x 1)\)得到\(3(x + 1)=x 1\)。
展开得\(3x+3=x 1\)。
移项得\(2x4\)，解得\(x2\)。
通过换元法避免了直接去分母化简方程可能带来的繁琐运算。
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