高一数学期末复习题：均值定理求最值，掌握配凑法和等号成立条件

xinwen.mobi · 发表于 6 天前

1. 均值定理内容
对于正实数\(a\)、\(b\)，有\(a + b\geqslant2\sqrt{ab}\)，当且仅当\(a = b\)时等号成立。
2. 配凑法示例
例1：求\(y = x+\frac{1}{x}(x\gt0)\)的最小值。
   这里\(a = x\)，\(b=\frac{1}{x}\)，因为\(x\gt0\)，满足均值定理的条件。
   根据均值定理\(y=x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\times\frac{1}{x}} = 2\)。
   当且仅当\(x=\frac{1}{x}(x\gt0)\)，即\(x = 1\)时等号成立，所以\(y\)的最小值为\(2\)。
例2：求\(y=x(1 2x)(0\lt x\lt\frac{1}{2})\)的最大值。
   首先对函数进行变形，\(y=\frac{1}{2}\times2x(1 2x)\)。
   因为\(2x\gt0\)，\(2x\gt0\)，根据均值定理\(2x+(1 2x)=1\)为定值。
   则\(y=\frac{1}{2}\times2x(1 2x)\leqslant\frac{1}{2}\times(\frac{2x+(1 2x)}{2})^2=\frac{1}{8}\)。
   当且仅当\(2x=1 2x\)，即\(x=\frac{1}{4}\)时等号成立，所以\(y\)的最大值为\(\frac{1}{8}\)。
例3：已知\(x\gt 1\)，求\(y=\frac{x^{2}+7x + 10}{x + 1}\)的最小值。
   先将函数进行变形，\(y=\frac{x^{2}+7x + 10}{x + 1}=\frac{(x + 1)^2+5(x + 1)+4}{x + 1}=(x + 1)+\frac{4}{x + 1}+5\)。
   因为\(x\gt 1\)，所以\(x + 1\gt0\)。
   根据均值定理\((x + 1)+\frac{4}{x + 1}\geqslant2\sqrt{(x + 1)\times\frac{4}{x + 1}} = 4\)。
   所以\(y=(x + 1)+\frac{4}{x + 1}+5\geqslant4 + 5=9\)。
   当且仅当\(x + 1=\frac{4}{x + 1}\)，即\(x = 1\)时等号成立，所以\(y\)的最小值为\(9\)。

在利用均值定理求最值时，关键要注意两点：一是各项必须为正实数；二是要验证等号成立的条件。

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高一数学期末复习题：均值定理求最值，掌握配凑法和等号成立条件

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