1. 设半圆的半径为\(r\)：
已知半圆的直径\(AB = 2r\)，因为\(\angle ADB = 90^{\circ}\)（直径所对的圆周角是直角）。
由于\(AB = 2r\)，\(AD = r\)，根据勾股定理\(BD=\sqrt{AB^{2AD^{2}}=\sqrt{(2r)^{2r^{2}}=\sqrt{3}r\)。
2. 计算扇形\(ADE\)的面积\(S_{1}\)：
因为\(\triangle ABD\)中，\(\cos\angle BAD=\frac{AD}{AB}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2}\)，所以\(\angle BAD = 60^{\circ}\)。
扇形\(ADE\)的圆心角\(\angle DAE=120^{\circ}\)，根据扇形面积公式\(S=\frac{n\pi R^{2}}{360}\)（这里\(n = 120\)，\(R = r\)），则扇形\(ADE\)的面积\(S_{1}=\frac{120\pi r^{2}}{360}=\frac{1}{3}\pi r^{2}\)。
3. 计算\(\triangle ADC\)的面积\(S_{2}\)：
因为\(\angle CAD = 60^{\circ}\)，\(AD = r\)，\(CD=\frac{\sqrt{3}}{3}r\)（\(\triangle ADC\)是\(30^{\circ60^{\circ90^{\circ}\)三角形）。
则\(S_{2}=\frac{1}{2}AD\times CD=\frac{1}{2}r\times\frac{\sqrt{3}}{3}r=\frac{\sqrt{3}}{6}r^{2}\)。
4. 计算阴影部分面积\(S\)：
阴影部分面积\(S = S_{1S_{2}=\frac{1}{3}\pi r^{2\frac{\sqrt{3}}{6}r^{2}=r^{2}(\frac{\pi}{3\frac{\sqrt{3}}{6})\)。
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