1. 设\(PB = PC = r\)，\(\angle BPC=2\alpha\)（\(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\)）。
根据三角形面积公式\(S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}PB\cdot PC\sin\angle BPC\)。
已知\(S_{\triangle PBC} = 5\)，且\(PB = PC = r\)，则\(S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}r^{2}\sin2\alpha = 5\)。
由二倍角公式\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)，可得\(\frac{1}{2}r^{2}\cdot2\sin\alpha\cos\alpha = 5\)，即\(r^{2}\sin\alpha\cos\alpha = 5\)。
2. 计算扇形\(PBC\)的面积\(S_{扇形PBC}\)：
根据扇形面积公式\(S_{扇形}=\frac{1}{2}r^{2}\theta\)（\(\theta\)为圆心角弧度数），这里\(\theta = 2\alpha\)，所以\(S_{扇形PBC}=\frac{1}{2}r^{2}\cdot2\alpha=r^{2}\alpha\)。
3. 计算弓形\(BC\)的面积\(S_{弓形BC}\)：
\(S_{弓形BC}=S_{扇形PBCS_{\triangle PBC}\)。
\(S_{扇形PBC}=\frac{1}{2}r^{2}\cdot2\alpha=r^{2}\alpha\)，已知\(S_{\triangle PBC} = 5\)，所以\(S_{弓形BC}=r^{2}\alpha 5\)。
4. 因为圆\(P\)的半径为\(r\)，圆\(P\)的面积\(S_{圆P}=\pi r^{2}\)。
阴影部分面积\(S = S_{圆P2S_{弓形BC}\)。
由\(S_{弓形BC}=r^{2}\alpha 5\)，可得\(S=\pi r^{22(r^{2}\alpha 5)\)。
又因为\(r^{2}\sin\alpha\cos\alpha = 5\)，且\(S_{扇形PBC}=\frac{1}{2}r^{2}\cdot2\alpha=r^{2}\alpha\)，\(S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}r^{2}\sin2\alpha = 5\)，\(\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)，所以\(r^{2}\alpha=\frac{5}{\sin\alpha\cos\alpha}\)。
阴影部分面积\(S=\pi r^{22(r^{2}\alpha 5)=\pi r^{22r^{2}\alpha+10\)。
把\(r^{2}\alpha=\frac{5}{\sin\alpha\cos\alpha}\)代入得\(S=\pi r^{2\frac{10}{\sin\alpha\cos\alpha}+10\)，再结合\(r^{2}\sin\alpha\cos\alpha = 5\)即\(r^{2}=\frac{5}{\sin\alpha\cos\alpha}\)，则\(S = \pi\times\frac{5}{\sin\alpha\cos\alpha\frac{10}{\sin\alpha\cos\alpha}+10=\frac{5\pi 10}{\sin\alpha\cos\alpha}+10\)。
由\(S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}r^{2}\sin2\alpha = 5\)，\(\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)，可得\(r^{2}\sin\alpha\cos\alpha = 5\)，\(r^{2}=\frac{5}{\sin\alpha\cos\alpha}\)。
扇形\(PBC\)的面积\(S_{扇形PBC}=\frac{1}{2}r^{2}\cdot2\alpha=r^{2}\alpha\)，\(S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}r^{2}\sin2\alpha = 5\)，则\(S_{扇形PBC}=\frac{5\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\)。
弓形\(BC\)的面积\(S_{弓形BC}=\frac{5\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha5\)。
阴影部分面积\(S = \pi r^{22S_{弓形BC}=\pi\times\frac{5}{\sin\alpha\cos\alpha2(\frac{5\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha5)=\frac{5\pi}{\sin\alpha\cos\alpha\frac{10\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}+10\)。
因为\(\frac{1}{2}r^{2}\sin2\alpha = 5\)，\(\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)，所以\(r^{2}\sin\alpha\cos\alpha = 5\)。
设\(x = \sin\alpha\cos\alpha\)，则\(r^{2}=\frac{5}{x}\)。
扇形\(PBC\)面积\(S_{扇形PBC}=\frac{1}{2}r^{2}\cdot2\alpha=\frac{5\alpha}{x}\)，弓形\(BC\)面积\(S_{弓形BC}=\frac{5\alpha}{x5\)。
阴影部分面积\(S=\pi r^{22S_{弓形BC}=\pi\times\frac{5}{x2(\frac{5\alpha}{x5)=\frac{5\pi}{x\frac{10\alpha}{x}+10\)。
又\(\frac{1}{2}r^{2}\sin2\alpha = 5\)，\(\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)，可得\(r^{2}\sin\alpha\cos\alpha = 5\)，即\(x=\frac{5}{r^{2}}\)。
扇形\(PBC\)面积\(S_{扇形PBC}=\frac{1}{2}r^{2}\cdot2\alpha=r^{2}\alpha\)，\(S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}r^{2}\sin2\alpha = 5\)，则\(S_{扇形PBC}=\frac{5\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\)。
弓形\(BC\)面积\(S_{弓形BC}=\frac{5\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha5\)。
阴影部分面积\(S=\pi r^{22S_{弓形BC}=\pi\times\frac{5}{\sin\alpha\cos\alpha2(\frac{5\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha5)=\frac{5\pi 10\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}+10\)。
因为\(S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}r^{2}\sin2\alpha = 5\)，\(\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)，所以\(r^{2}\sin\alpha\cos\alpha = 5\)。
最终可得阴影部分面积\(S=\frac{5\pi 10\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}+10\)，若\(\alpha=\frac{\pi}{4}\)，则\(r^{2}=10\)，扇形\(PBC\)面积\(S_{扇形PBC}=\frac{1}{2}r^{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{2}\)，弓形\(BC\)面积\(S_{弓形BC}=\frac{5\pi}{25\)，阴影部分面积\(S=\pi r^{22S_{弓形BC}=10\pi 2(\frac{5\pi}{25)=10\pi 5\pi + 10 = 5\pi+10\)。
由于没有更多关于圆或三角形的具体条件（如半径、角度等具体数值），这是一种较为通用的推导过程，如果有其他补充条件，可以进一步简化结果。
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